連関資料 :: 運動量
資料:19件
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3-3角運動量の行列表現
- 角運動量の行列表現 角運動量の話を第３部に持ってきた理由はここにある。 交換関係 ここまで描いてきた角運動量のイメージを補うために、数学の助けを借りることにしよう。 まずは角運動量の演算子の交換関係を調べることから始める。 大抵の教科書では真っ先にやることではあるが、私の場合、今回の話でどうしても必要になるから仕方なく導いておくのである。 交換関係を求める事は以前に「 不確定性原理 」のところでもやったが、忘れているかもしれないので、一つだけ丁寧に計算例を示しておこう。 今回はわざわざ を付けて計算する意味はなかったが、 があることを意識して計算していることを示すために敢えて略さなかった。 この結果を交換子を使って書けば、 とシンプルに表せる。 また、Lx, Ly, Lz は対称的な形式をしているので、わざわざ同じような計算を繰り返すことなく、 という関係も得られる。 交換子の値が０であったなら、同時に２つの演算子の固有関数となる関数が存在するということだが、この場合は L = ( 0, 0, 0 ) でもない限りは、 L のそれぞれの方向からの観測値は同時には決められないということであり、それはすでに前回話した通りだ。 ちなみに という関係を導く事も出来るが、これは量子数 l と m とを同時に定める事が出来ることを意味している。 これも前回やった事の確認である。 しかし、交換関係はこんなことを説明するためだけにあるのではない。 本当の使い道はこの後にある。 行列への変換 微分演算子と行列が論理的には等価だという話は第２部で出てきた。 そこで、角運動量の演算子を行列で表したらどうなるだろうかと考えてみよう。 なぜそんなことを考えるかというと、あの複雑な原子の波動関数に対して極座標で微分計算をするという面倒な手続きから解放されたいからである。 もっとすっきりと論理構造を見渡せるようになるのではないかという期待がある。 簡単な例を挙げて説明しよう。 と言っても l = 0 では話にならないので l = 1 を考える。 この時、m = 1, 0, -1 という３つの状態がありうるのだった。 エルミート演算子の異なる固有値に属する固有関数は互いに直交しているという数学的な要請があり、ベクトル表現でも同じ事が言えるはずだ。 これら３つの直交する状態ベクトルを |1> , |0> , |-1> という記号で表すことにしよう。 具体的には というベクトルをイメージすればいい。 本当はこれらをユニタリ変換したどんなベクトルの組でもいいのだが、簡単なところから考える方がいいだろう。 この有限次元のベクトルは何を意味しているのだろうか。 波動関数というのは無限次元の複素ベクトルであるという話だった。 これはその無限に軸がある空間内から、主量子数 n がある値であるような空間だけを持ってきて、さらにその中の l = 1 という条件を満たす部分的な空間だけを取り出してきたようなイメージである。 つまり「無限次元の存在」の断面図を見ているようなもので、今はその断面は３次元であり、l が変化しない限りは状態ベクトルもその断面上に乗っかって存在すると考えているわけだ。 しかし今は他の次元のことは忘れて、３次元が全てだと考えた方が分かりやすい。 このとき、演算子 Lz を表す行列は非常にシンプルに書ける。 こうしておけば、 という関係が満たされているわけだ。 ちなみに l = 2 の場合には Lz は という形に
全体公開 2007/12/26- 閲覧(4,175)
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3-7角運動量の保存法則
- 角運動量の保存法則 物体の回転というものが、 この宇宙で特別な意味を持っていると考えなくていい。 角運動量保存の正体 1999年秋頃に、動きにごまかしのないリアルな巨大ロボットの格闘ゲームを作ろうと思い立った。 重心移動などをコントロールする硬派なゲームだ。 今だから言うが、ネット上で格闘大会を主催して、公式改造パーツを「広江工業」の名前で売って一儲けしようと企んでいたわけだ。 オーダーメイドも引き受けるつもりだった。 金次第でいくらでも強くできるのではなく、指定した材質、強度加工のコストによって値段設定する。 形状を工夫することで各パーツの重心位置を調整することができるが、総重量などはサイズ、材質、加工方法の選択によって制約を受ける。 ユーザはこれらを専用のソフトで設計して、そこに出た金額を払えば「広江工業製」として認証を受けられて、公式戦で使用可能となるという仕組みだ。 また、設計データについてはユーザ間の売買を自由に認めるつもりだった。 しかし当時のパソコンの能力、ネットの遅さを思い出してもらいたい！！ またその頃、コンセプトは違うものの、似たようなゲームが連続して発表されたのでやる気が失せてしまった。 リモコンダンディとかね。 巨大ロボットものは当時流行ったように見えた。 開発中の無収入の中で、近いうちに絶対誰かが同じことをやる！という不安に負けたのだった。 とにかくその頃、そのゲームのための基礎的なシミュレーションをコンピュータ上で繰り返していたわけだが、その結果を見て驚いた。 運動量の保存のみをプログラムしただけなのに、プログラムした覚えのない物体の回転や遠心力まで再現してくれたのだ。 厄介な角運動量保存はどうやってプログラムで実現したらいいのだろうと悩んでいた矢先のことであった。 私は暫くの間、なぜプログラムをしてもいないのに角運動量保存がコンピュータ上で再現できているのか理解できないでいた。 忠実に角運動量を再現できているわけではないだろう、と疑った時期さえもあった。 私はそれまで角運動量の保存法則は運動量保存法則やエネルギー保存法則と並ぶ宇宙の基本法則の一つでそれぞれは独立して成り立っているのだと思い込んでいたのだ。 ところがその辺りを気をつけて教科書を読み直してみると、角運動量保存則は運動量保存法則を使って導かれる結果である事が分かった。 運動量保存法則が成り立っている限り、必ず成り立つことが保証されているのである。 要は、角運動量保存法則は数学で言うところの定理みたいなもので、公理ではないわけだ。 そんなに難しくないからここでやって見せようか。 最後の行で第1項が0になるのは、速度ベクトル v どうしの外積を計算したからである。 同じ方向を向いたベクトルどうしの外積は０になるのだった。 このようにして第2項だけが残るわけだが、もしこの N も0であるなら角運動量は時間的に変化しない事になる。 ベクトルを使った場合でも、外部から力のモーメント N が働かない限りは角運動量が保存する事がちゃんと示せるのである。 角運動量保存則は定理であって、基本法則じゃないぞ！ なぜ角運動量は保存する？ 数式で示せるからと言って、それを何も考えずにそのまま受け入れてしまうのは気持ちが悪い。 先ほどの式の最後の変形で第1項が消えてしまったわけだが、これこそ前回の記事の最後に出てきた疑問の核心部分である。 「回転半径が変化しているのに、なぜ角運動量は変化しないでいられるのか」 ベクトルを使わずに説明した時
- 運動 電子 保存 数学 エネルギー コンピュータ 宇宙 プログラム 変化 自由
- 全体公開 2007/12/24
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3-1角運動量の演算子
- 角運動量の演算子 まずは古典論の復習を中心に。 磁性の原因 第１部の「 原子の構造 」のところでは、電子は原子核の周りを回っているわけではないという話をした。 しかしそれでは説明の付かない現象が出てきてしまう。 あらゆる物質は程度の差はあれ、磁気に対して反応を示す。 自ら強い磁気を帯びてそれを保つ物質もあれば、磁石を近づけた時だけ僅かに磁気を帯びる物質もある。 そういった性質はどこから来るのだろうか。 電磁気学の範囲では、それは原子核の周りを回る電子による円電流が原因であると説明した。 ところが量子力学では、電子というのは電荷を帯びた粒などというイメージのものではなく、波として存在すると説明しているのである。 もちろん、その辺りの解釈は人によって分かれるところで、波というのはあくまでも存在確率を表すに過ぎず、電子は粒として存在するのだというイメージを強く持っている人々もいる。 どちらにしても、電子という粒が連続的にぐるぐると回っているというイメージは正しくないという点では同じ意見だ。 そのような存在がどうやって磁場を生み出すのだろうか。 磁気モーメントの復習 このサイトでは応用的な問題にまでは立ち入らないという姿勢を取っているため、電磁気学のページで「円電流が作る磁場」について解説することはなかった。 そんなものは興味があれば各自で計算してみればいいだけのことだ。 ・・・と考えていたのだが、それがまさか、こんなところで関係してきてしまうとは思いもしなかった。 ここではごく簡単にその辺りの話を解説しておこう。 正負の２つの電荷 ±q が距離 s だけ離して置かれている時、 という大きさの、負電荷から正電荷へと向かうベクトルを「電気双極子モーメントベクトル」と呼ぶ。 この２つの電荷のペアが作る電場は、それぞれの電荷が単独に作る電場を足し合わせただけのものである、と気楽に理解すればいい。 しかしその電場の形を図にするとなかなか面白いことになっているし、それを式で表すのは意外に面倒だ。 ２つの電荷の中点から距離 r だけ離れた点に作られる電場は、 r >> s の条件で、 であると「近似的に」表せる。 同様に、もし磁荷 ±qm というものが存在すると仮定すると、同じように「磁気双極子モーメントベクトル」 というものが定義できて、磁場も先ほどと同じ形で表されることだろう。 ただし単磁荷どうしの間に働く力が と表せると仮定して磁荷の大きさを決めてある。 「磁気双極子モーメントベクトル」と呼ぶのは長ったらしくて面倒なので、以後「磁気モーメント」と略することにする。 モノポールが発見されない以上はわざわざこんなことを考える理由はないのだが、なんと、半径 a の円形電流 I が、その中心から距離 r のところに作る磁場が、上で考えた磁気双極子の作る磁場と非常に似た形になっているのである。 ただしそれは r >> a という条件で近似した場合であって、電流に近付き過ぎると当然磁場の形に違いが見られる。 それは状況を正しくイメージしているのならすぐ分かることだ。 とにかく離れて見ている限りは非常に似ているというので両者を比較してみると、ただ円形電流が磁気モーメント を持つのだと決めておきさえすれば、両者は全く同等だと考えられるのである。 さて、半径 a の円軌道を１個の電子が速さ v で回転する時、１周の長さが 2πa なので、１秒に v/2πa 回転できるだろう。 つまり、その時の電流 I は、 である。 よって、１個
- 全体公開 2007/12/26
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車体模型周りの流れと運動量の法則
- 1. 緒言 車体形状は自動車の空力特性に大きく影響を及ぼすので,車体近傍の流れの挙動をよく把握しておく必要がある．そうでないと無駄な空気抵抗ができたり，車体の安定性が低下したりする．本実験では二次元車体模型を用い，マノメータによる模型表面の圧力分布計測，ピトー管による模型前後断面の流速分布の計測，及び表面タフト法による流れの可視化を行い，これらの原理や実験方法について理解する．また，物体表面の圧力分布より抗力，揚力が算出できることを確認し，さらに運動量の法則からも抗力が算出できる事を理解する． 2. 理論 2.1 マノメータの原理 マノメータは，液体の自重による圧力と測定圧力とをつり合わせることにより，流体の圧力を測定する計測器である．図１において，基準圧力p0，測定圧力p，マノメータのヘッドh，指差液体の密度ρliq，空気の密度ρair，重力加速度gとすると，A点とB点の圧力は等しいことにより次式を得る． ここで，ρliq≫ρairを考慮すると次式となる． (1) 式(1)より，マノメータのヘッド
- 実験 レポート 理工学 流体力学 車 空力
- 全体公開 2008/10/22
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3-8運動量保存則だけでは不完全
- 運動量保存則だけでは不完全？ 運動量保存則だけではすべてを説明できない 運動量保存則の欠陥 前の記事で、角運動量保存則は運動量保存則から導かれる定理であるという内容のことを言ったが、完全にそうは言えないことを説明しよう。 運動量保存則が成り立っているにも関わらず、角運動量保存則を満たしていない事例がある。 例えば、２つの質点が左右に離れて並んでおり、静止しているとしよう。 そしてこの２つの質点の間に運動量が交換されて、一方が上方へもう一方が下方へ進み始めたらどうであろうか？ 奇妙な感じがするが、これは運動量保存則を満たしているのである。 この時にもしこの２つの質点を棒でつないでおいたら
- 全体公開 2007/12/24
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運動強度と酸素摂取量の関係性と血液・酸素の行方
- 1. 緒言 運動強度と酸素摂取量は，共に心拍数から求めることができる．ということは，運動強度と酸素摂取量には何か関係があるのではないか？ 以下の結果および考察から運動強度と酸素摂取量の関係性について考えてみる． 2. 方法 6月9日に実施したポートビーの競技中に計測した心拍数（自分）のデータを分析した． 3. 結果および考察 図1 ＨＲ･運動強度の時系表示 まず，運動強度はカルボーネン式より心拍数の値から出されるので，運動強度は心拍数に比例するといえる．図1のグラフを見ても比例していることがわかるであろう． 次に，心拍数と酸素摂取量を考える．酸素摂取量とは具体的には肺で取り込まれた酸素の量である．肺での酸素摂取は赤血球に含まれるヘモグロビンが酸素と結合することによりなされる．ということは，肺を流れる血液量が多ければ多いほど，赤血球が多くの肺の空気に触れることになり，酸素摂取量が高まることになる．肺を流れる血液の量とは，心臓から送り出される血液の量である．つまり，心拍出量である． 心拍出量＝1回拍出量×心拍数 ･･･? で表されるが，ここで1回拍出量は運動強度が上がるとある程度増加するが，その後40％〜50％で一定になる．したがって，心拍出量の増加は主に心拍数の増加でまかなわれている．よって，心拍数の増加は間接的ではあるが，酸素摂取量を増加させるので，ここでも相加作用があるようだ．具体的に 酸素摂取量＝心拍出量×動静脈酸素較差 ･･･? でもとめることができるが，やはり酸素摂取量と心拍数は比例する． 実際に計算してみる．出原さんは“3つのエネルギー系〜ATP合成へのルート〜”というレポートで心拍出量と酸素摂取量を求めているが，同じ方法を使って1回拍出量を平均の80ml，動静脈酸素格差を50mlとして計算する．また，心拍数は安静時66と最高値202を用いる．
- レポート 体育 生理学 運動 健康
550 販売中 2005/12/30- 閲覧(11,948)
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東工大：基礎物理学実験「角運動量と慣性力」 得点9点
- レポートの書き方が分からない新入生へ 参考にどうぞ
- 2,860 販売中 2009/12/18
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