幾何学演習講義資料6

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資料紹介

2006(C) BUKKYO UNIVERSITY All Rights Reserved.
幾何学演習
第６回（全８回）
6
－1
2006(C) BUKKYO UNIVERSITY All Rights Reserved.
定理１．
Ｘ，Ｙを集合とし，ｆをＸからＹへの写像とする。このとき，Ｘの部分集合Ａ
１，Ａ２について，
つぎのことがらが成り立つ。
(１) ｆ(Ａ
１∪Ａ２)＝ｆ(Ａ１)∪ｆ(Ａ２)
(２) ｆ(Ａ
１∩Ａ２)⊂ｆ(Ａ１)∩ｆ(Ａ２)
(３) ｆ(Ａ
１－Ａ２)⊃ｆ(Ａ１)－ｆ(Ａ２)
6
－2
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－3
証明
(１) ｆ(Ａ
１∪Ａ２)
∍ｙ ⇒ Ａ
１∪Ａ２∍∃ｘｓｔｆ ( ｘ ) ＝ｙ
⇒ ( Ａ
１∍
ｘまたはＡ２∍
ｘ) ｓｔｆ(ｘ)＝ｙ
⇒ ( Ａ
１∍ｘｓｔｆ(ｘ)＝ｙ) または
(Ａ
２∍ｘｓｔｆ ( ｘ ) ＝ｙ )
⇒ ｙ
∊ｆ(Ａ
１) またはｙ
∊
ｆ(Ａ
２)
⇒ ｙ
∊ｆ(Ａ
１)∪ｆ(Ａ２)
よって，
ｆ(Ａ
１∪Ａ２)⊂ｆ(Ａ１)∪ｆ(Ａ２)・・・・・①
また，
Ａ
１⊂Ａ１∪Ａ２，Ａ２⊂Ａ１∪Ａ２より
ｆ(Ａ
１) ⊂ｆ(Ａ１∪Ａ２) ，ｆ ( Ａ２) ⊂ｆ(Ａ１∪Ａ２)
よって，
ｆ(Ａ
１) ∪ｆ(Ａ２) ⊂ｆ(Ａ１∪Ａ２) ・・・・・②
したがって，①，②により
ｆ(Ａ
１∪Ａ２)＝ｆ(Ａ１) ∪ｆ(Ａ２) が成り立つ。
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証明
(２) ｆ(Ａ
１∩Ａ２)
∍ｙ ⇒ Ａ
１∩Ａ２∍∃ｘｓｔｆ ( ｘ ) ＝ｙ
⇒ ( Ａ
１∍
ｘかつＡ２∍
ｘ) ｓｔｆ(ｘ)＝ｙ
⇒ ( Ａ
１∍ｘｓｔｆ(ｘ)＝ｙ) かつ
(Ａ
２∍ｘｓｔｆ ( ｘ ) ＝ｙ )
⇒ ｙ
∊ｆ(Ａ
１) かつｙ
∊
ｆ(Ａ
２)
⇒ ｙ
∊ｆ(Ａ
１)∩ｆ(Ａ２)
したがって，
ｆ(Ａ
１∩Ａ２)⊂ｆ(Ａ１)∩ｆ(Ａ２)
が成り立
つ。
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－5
証明
(３) ｆ(Ａ
１) －ｆ ( Ａ２)
∍
ｙ ⇒ ｙ
∊
ｆ(Ａ
１) かつｙ
∉
ｆ(Ａ
２)
⇒ Ａ
１∍∃ｘｓｔｆ ( ｘ ) ＝ｙかつｙ
∉ｆ(Ａ
２)
⇒ ｘ
∊Ａ
１－Ａ２，ｆ(ｘ)＝ｙ
⇒ ｙ
∊ｆ(Ａ
１－Ａ２)
したがって，
ｆ(Ａ
１－Ａ２)⊃ｆ(Ａ１)－ｆ(Ａ２)
が成り立
つ。
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定理２．
Ｘ，Ｙを集合とし，ｆをＸからＹへの写像とする。このとき，Ｙの部分集合Ｂ
１，Ｂ２について，
つぎのことがらが成り立つ。
(１) ｆ
－１(Ｂ１∪Ｂ２)＝ｆ－１(Ｂ１)∪ｆ－１(Ｂ２)
(２) ｆ
－１(Ｂ１∩Ｂ２)＝ｆ－１(Ｂ１)∩ｆ－１(Ｂ２)
(３) ｆ
－１(Ｂ１－Ｂ２)＝ｆ－１(Ｂ１)－ｆ－１(Ｂ２)
6
－6
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これらの証明は同様にできるので，(１)だけを証明する。証明
(１) ｆ
－１(Ｂ１∪Ｂ２)∍
ｘ ⇔ ｆ ( ｘ )
∊
Ｂ
１∪Ｂ２
⇔ ｆ ( ｘ )
∊
Ｂ