資料紹介

2006(C) BUKKYO UNIVERSITY All Rights Reserved.
幾何学演習
第６回（全８回）
6
－1
2006(C) BUKKYO UNIVERSITY All Rights Reserved.
定理１．
Ｘ，Ｙを集合とし，ｆをＸからＹへの写像とする。 このとき，Ｘの部分集合Ａ
１，Ａ２について，
つぎのことがらが成り立つ。
(１) ｆ(Ａ
１∪Ａ２)＝ｆ(Ａ１)∪ｆ(Ａ２)
(２) ｆ(Ａ
１∩Ａ２)⊂ｆ(Ａ１)∩ｆ(Ａ２)
(３) ｆ(Ａ
１－Ａ２)⊃ｆ(Ａ１)－ｆ(Ａ２)
6
－2
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－3
証明
(１) ｆ(Ａ
１∪Ａ２)
∍ｙ ⇒ Ａ
１∪Ａ２∍∃ｘ ｓ ｔ ｆ ( ｘ ) ＝ ｙ
⇒ ( Ａ
１∍
ｘ または Ａ ２∍
ｘ) ｓｔ ｆ(ｘ)＝ｙ
⇒ ( Ａ
１∍ｘ ｓｔ ｆ(ｘ)＝ｙ) または
(Ａ
２∍ｘ ｓ ｔ ｆ ( ｘ ) ＝ ｙ )
⇒ ｙ
∊ｆ(Ａ
１) または ｙ
∊
ｆ(Ａ
２)
⇒ ｙ
∊ｆ(Ａ
１)∪ｆ(Ａ２)
よって，
ｆ(Ａ
１∪Ａ２)⊂ｆ(Ａ１)∪ｆ(Ａ２)・・・・・①
また，
Ａ
１⊂Ａ１∪Ａ２ ， Ａ２⊂Ａ１∪Ａ２ より
ｆ(Ａ
１) ⊂ｆ(Ａ１∪Ａ２) ， ｆ ( Ａ２) ⊂ｆ(Ａ１∪Ａ２)
よって，
ｆ(Ａ
１) ∪ｆ(Ａ２) ⊂ｆ(Ａ１∪Ａ２) ・・・・・②
したがって，①，②により
ｆ(Ａ
１∪Ａ２)＝ｆ(Ａ１) ∪ｆ(Ａ２) が成り立つ。
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証明
(２) ｆ(Ａ
１∩Ａ２)
∍ｙ ⇒ Ａ
１∩Ａ２∍∃ｘ ｓ ｔ ｆ ( ｘ ) ＝ ｙ
⇒ ( Ａ
１∍
ｘ か つ Ａ ２∍
ｘ) ｓｔ ｆ(ｘ)＝ｙ
⇒ ( Ａ
１∍ｘ ｓｔ ｆ(ｘ)＝ｙ) かつ
(Ａ
２∍ｘ ｓ ｔ ｆ ( ｘ ) ＝ ｙ )
⇒ ｙ
∊ｆ(Ａ
１) かつ ｙ
∊
ｆ(Ａ
２)
⇒ ｙ
∊ｆ(Ａ
１)∩ｆ(Ａ２)
したがって，
ｆ(Ａ
１∩Ａ２)⊂ｆ(Ａ１)∩ｆ(Ａ２)
が成り立
つ。
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証明
(３) ｆ(Ａ
１) － ｆ ( Ａ２)
∍
ｙ ⇒ ｙ
∊
ｆ(Ａ
１) かつ ｙ
∉
ｆ(Ａ
２)
⇒ Ａ
１∍∃ｘ ｓ ｔ ｆ ( ｘ ) ＝ ｙ か つ ｙ
∉ｆ(Ａ
２)
⇒ ｘ
∊Ａ
１－Ａ２ ，ｆ(ｘ)＝ｙ
⇒ ｙ
∊ｆ(Ａ
１－Ａ２)
したがって，
ｆ(Ａ
１－Ａ２)⊃ｆ(Ａ１)－ｆ(Ａ２)
が成り立
つ。
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定理２．
Ｘ，Ｙを集合とし，ｆをＸからＹへの写像とする。 このとき，Ｙの部分集合Ｂ
１，Ｂ２について，
つぎのことがらが成り立つ。
(１) ｆ
－１(Ｂ１∪Ｂ２)＝ｆ－１(Ｂ１)∪ｆ－１(Ｂ２)
(２) ｆ
－１(Ｂ１∩Ｂ２)＝ｆ－１(Ｂ１)∩ｆ－１(Ｂ２)
(３) ｆ
－１(Ｂ１－Ｂ２)＝ｆ－１(Ｂ１)－ｆ－１(Ｂ２)
6
－6
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これらの証明は同様にできるので，(１)だけを証明する。 証明
(１) ｆ
－１(Ｂ１∪Ｂ２)∍
ｘ ⇔ ｆ ( ｘ )
∊
Ｂ
１∪Ｂ２
⇔ ｆ ( ｘ )
∊
Ｂ

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幾何学演習
第６回（全８回）
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2006(C) BUKKYO UNIVERSITY All Rights Reserved.
定理１．
Ｘ，Ｙを集合とし，ｆをＸからＹへの写像とする。 このとき，Ｘの部分集合Ａ
１，Ａ２について，
つぎのことがらが成り立つ。
(１) ｆ(Ａ
１∪Ａ２)＝ｆ(Ａ１)∪ｆ(Ａ２)
(２) ｆ(Ａ
１∩Ａ２)⊂ｆ(Ａ１)∩ｆ(Ａ２)
(３) ｆ(Ａ
１－Ａ２)⊃ｆ(Ａ１)－ｆ(Ａ２)
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証明
(１) ｆ(Ａ
１∪Ａ２)
∍ｙ ⇒ Ａ
１∪Ａ２∍∃ｘ ｓ ｔ ｆ ( ｘ ) ＝ ｙ
⇒ ( Ａ
１∍
ｘ または Ａ ２∍
ｘ) ｓｔ ｆ(ｘ)＝ｙ
⇒ ( Ａ
１∍ｘ ｓｔ ｆ(ｘ)＝ｙ) または
(Ａ
２∍ｘ ｓ ｔ ｆ ( ｘ ) ＝ ｙ )
⇒ ｙ
∊ｆ(Ａ
１) または ｙ
∊
ｆ(Ａ
２)
⇒ ｙ
∊ｆ(Ａ
１)∪ｆ(Ａ２)
よって，
ｆ(...

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