資料紹介
BPF(Band Pass Filter)
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1 問題
次の回路の伝達関数を求めよ。
図 1: バイカット型 BPF
2 解法
まず、図１の回路方程式を立てるため、各 Amp に分けて導出す
ることを考える。
Amp.3について回路方程式を立てると
図 2: Amp.3について
Vo2 2RI = Vend (1)
Vo2 RI = 0 (2)
式 (1),(2)より
Vo2 = Vend (3)
と表すことができる。
次に、Amp.2について回路方程式を立てる。反転増幅回路を参
考にすると
図 3: Amp.2について
Vo2
Vo1
=
1
j!C
R2
(4)
Vo2
Vo1
=
1
j!CR 2
(5)
さらに、Amp.1について回路方程式を立てる。式 (3),(5)を用
いて
I12 = I24 + I34 + I38 (6)
Vin R4I12
1
j!C
I24 = Vo1 (7)
Vin R4I12 R1I34 = Vo1 (8)
Vin R4I12 = 0 (9)
Vin R4I12 R3I38 = Vend (10)
Vend = Vo2 (1
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資料の原本内容
回路方程式による伝達関数の導出
―バイカット型 BPF(Band Pass Filter)―
増成伸一
平成 21 年 1 月 26 日
1
問題
と表すことができる。
次の回路の伝達関数を求めよ。
次に、Amp.2 について回路方程式を立てる。反転増幅回路を参
考にすると
図 1: バイカット型 BPF
図 3: Amp.2 について
2
解法
まず、図１の回路方程式を立てるため、各 Amp に分けて導出す
Vo2
Vo1
Vo2
Vo1
ることを考える。
Amp.3 について回路方程式を立てると
= −
1
jωC
R2
1
= −
jωCR2
(4)
(5)
さらに、Amp.1 について回路方程式を立てる。式 (3),(5) を用
いて
図 2: Amp.3 について
I12 = I24 + I34 + I38
1
Vin − R4 I12 −
I24 = Vo1
jωC
Vin − R4 I12 − R1 I34 = Vo1
(6)
Vin − R4 I12 = 0
(9)
Vin − R4 I12 − R3 I38 = Vend
(10)
Vend = −Vo2
1
Vo2 = −
Vo1
jωCR2
(11)
(7)
(8)
(12)
式 (10),(11),(12) を用いて
Vo2 − 2RI = Vend
Vo2 − RI = 0
(1)
Vin − R4 I12 − R3 I38 =
(13)
(2) 式 (9) を用いて、式 (7),(8),(13) を簡略化すると
1
I24 = Vo1
jωC
−R1 I34 = Vo1
1
Vo1
−R3 I38 =
jωCR2
−
式 (1),(2) より
−Vo2 = Vend
1
Vo1
jωCR2
(3)
(14)
(15)
(16)
それぞれの電流値を求めると
式 (25) を式 (26) に代入すると
= −jωCVo1
1
= − Vo1
R1
1
= −
Vo1
jωCR2 R3
Vin
=
R4
I24
I34
I38
I12
(17)
(18)
−sCR2 Vo2
Vin
(19)
Vo2
Vin
1
CR4 s
= − 2
1
s + CR
s + C 2 R12 R3
1
(27)
1
C 2 R2 R4
1
s2 + CR1 s + C 2 R12 R3
=
(28)
(29)
(20)
式 (6) に上式を代入すると
Vin
R4
Vin
Vo1
Vin
Vo1
Vin
Vo1
Vo1
Vin
Vo1
Vo1
−
R1
jωCR2 R3
R4
R4
−jωCR4 −
−
R1
jωCR2 R3
(−jωCR4 )(R1 )jωCR2 R3 − (R4 )jωCR2 R3 − (R1 )R4
(R1 )jωCR2 R3
2 2
ω C R1 R2 R3 R4 − jωCR2 R3 R4 − R1 R4
jωCR1 R2 R3
jωCR1 R2 R3
ω 2 C 2 R1 R2 R3 R4 − jωCR2 R3 R4 − R1 R4
= −jωCVo1 −
=
=
=
=
jw = s と置き標準形に変換する。
Vo1
Vin
Vo1
Vin
Vo1
Vin
Vo1
Vin
sCR1 R2 R3
−s2 C 2 R1 R2 R3 R4 − sCR2 R3 R4 − R1 R4
sCR1 R2 R3
= − 2 2
s C R1 R2 R3 R4 + sCR2 R3 R4 + R1 R4
CR1 R2 R3
C 2 R1 R2 R3 R4 s
= − 2
R1 R4
2 R3 R4
s + C 2CR
R1 R2 R3 R4 s + C 2 R1 R2 R3 R4
=
1
CR4 s
= − 2
1
s + CR
s + C 2 R12 R3
1
図 4: Amp.1 について
(21)
(22)
Vo1
Vin
(23)
(30)
R1
jωC
(24)
Z1
=
(31)
1
R1 + jωC
R1
1 + jωCR1
= R4
=
心周波数 f0 について
ω02
=
ω0
=
f0
=
1
C 2 R2 R3
1
√
C R2 R3
1
√
2πC R2 R3
Z2
Vo1
Vin
Vo1
Vin
ω0
1
=
Q
CR1
Q = CR1 ω0
1
Q = CR1 √
C R2 R3
R1
Q = √
R2 R3
利得 G は
G
ω0
Q
=
G
= CR1
G
=
(32)
(33)
式 (6) に式 (8),(9) を代入
次に、Q 値は
1
CR4
R1
1+jωCR1
= −
= −
1
0
−1
0
−1
1
0
1
R1
1
jωC
0
0
R1
0
R2
0
0
0
R2
0
(34)
R4
R1
(1 + jωCR1 )R4
0
−1
0
1
R3 + jωC
1
jωC
I12
(35)
0
I23
0
=
I24
V
in
I54 Vin − Vout
I46
0
上式を次のように表す。
1
CR4
Ax = B
R1
R4
を使う。従って、まず |A| を求めると
を対象とした伝達関数を求める。式 (24) に式 (5) を代入すること
を考えると
= −sCR2 Vo2
1
CR4 s
= − 2
1
s + CR
s + C 2 R12 R3
1
(36)
式 (8) に代入するため I23 のみわかればいいのでクラメルの式
以上までの算出では Vo1 に対しての伝達関数を求めた。次に Vo2
Vo1
Vin
Z1
Z2
Z1 ,Z2 については
式 (24) の中心周波数 f0 、利得 G、Q 値 Q を以下に示す。まず、中
Vo1
= −
(25)
(26)
|A|
=
−1
0
−1 0
1 1
0 0
1
0
R1
0
−1
0
1
jωC
R1
0
R2
1
0 R3 + jωC
0
0
R2
0
1
jωC
=
1
R1
−1
1
jωC
−1
0
0
0
R1
0
R2
1
R3 + jωC
0
0
R2
1
jωC
1
第二列で展開し、 jωC
= α とすると
|A| = R1
1
−1
0
R3 + α + α R1
α
0
R2
R2
R3 + α
α
R1
0
R1
0
R2
R2
R2
R2
R3 + α
R2
+ α
α
R2
|A|=
|A|
0
R3 + α
R1
+α
α
0
R3 + α
α
= −R1 (R2 R3 ) − α(R2 R3 ) + α2 R1
(37)
= R1 α2 − R2 R3 α − R1 R2 R3
(38)
クラメルの式より、Vin − Vout = β とすると
1
0
−1
0
0
1
I23 =
R
|A| 1
R1
0
Vin
β
1
0
R2
1
−1
0
0
0 R3 + α
0
0
R2
0
0
α
右辺の分子を第 4 列で展開すると
1
R1
0
Vin
−1
0
0
0
R1
0
β
0
R2
R2
R3 + α
α
=
Vin
β
0
R2
0
R3 + α
0
R2
α
−
R1
R1
Vin
β
0
R3 + α
0
0
α
=
Vin (−R2 R3 ) − α(R1 β − R1 Vin )
(39)
=
−R2 R3 Vin + αR1 Vout
(40)
−R2 R3 Vin + αR1 Vout
R1 α2 − R2 R3 α − R1 R2 R3
(41)
従って、I24 は
I24 =
式 (13) を式 (8) に代入すると
−R2 R3 Vin + αR1 Vout
R1 α2 − R2 R3 α − R1 R2 R3
2
−(R1 α + R2 R3 α + R1 R2 R3 )Vout = −2αR2 R3 Vin
2αR2 R3
Vout
=
Vin
R1 α2 + R2 R3 α + R1 R2 R3
2 R3
jω R12R
Vout
R2 R3 C
=
R2 R3
R1
2
Vin
R1 R2 R3 C 2 + jω R1 R2 R3 C + (jω)
Vout = 2α
jω R12C
Vout
=
1
1
2
Vin
R2 R3 C 2 + jω R1 C + (jω)
(42)
(43)
(44)
(45)
(46)
ここで、jω = s とすると
2
Vout
R1 C s
= 2
Vin
s + R11C s + R2 R13 C 2
(47)
上記方程式が、この回路の伝達関数となる。このままでは、どのよ
うな波形になるのかわかりずらいため、次のように式を変更する。
2Q
s
Vout
= 2 ωω00
Vin
s ...
