資料紹介

BPF(Band Pass Filter)
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1 問題
次の回路の伝達関数を求めよ。
2 解法
まず、Fig.1の回路方程式を立てるため、各経路における電流を
変数 I12 I23 I25 I24 I54(suffixが各経路をあらわしている)とする
とキルヒホッフの第一法則、第二法則を用いて
I12 = I23 + I24 + I54 (I25 = I54 :virtual short) (1)
Vin R1I12 R2I23 = 0 (pass : 123) (2)
Vin R1I12
I24
j!C
= Vout (pass : 1246) (3)
Vin R1I12
I25
j!C
R5I54 = Vout (pass : 1254) (4)
また、オペアンプの入力電圧を V V+ とし、理想的なオペアン
プとすれば V = V+ と表すことができる。従って、5 の地点での
電圧は 0 であるため、
Vout = R5I54 (5)
と表すことができる。
式(1)～式(4)までを考えると、未知数が4、変数(電流値)が4の
ためI54を求めることができる。そして、

資料の原本内容

回路方程式による伝達関数の導出
―多重帰還形 BPF(Band Pass Filter)―
増成伸一
平成 21 年 1 月 26 日

1

問題



次の回路の伝達関数を求めよ。











1

−1

−1

−1

R1
R1

R2
0

0
1
jωC

0
0

R1

0

0

(

1+jωCR5
jωC

)



 











I12  
 

I23 
 
 



0
Vin







Vin − Vout 


Vin − Vout

=


I24 
 
 
I54

上式を次のように表す。

Ax = B

(6)

I54 のみわかればいいのでクラメルの式を使う。従って、まず
|A| を求めると

|A|

=

1
R1

−1
R2

−1
0

R1

0

1
jωC

R1

2

解法

0

−1
0
(

0

0
1+jωCR5
jωC

)

1
第二列で展開し、 jωC
= α とすると

まず、Fig.1 の回路方程式を立てるため、各経路における電流を

R1
|A|= R1
R1

変数 I12 I23 I25 I24 I54 (suffix が各経路をあらわしている) とする
とキルヒホッフの第一法則、第二法則を用いて

I12 = I23 + I24 + I54

(I25 = I54 : virtual short)

(1)

Vin − R1 I12 − R2 I23 = 0
(pass : 123)
I24
Vin − R1 I12 −
= Vout (pass : 1246)
jωC
I25
Vin − R1 I12 −
− R5 I54 = Vout (pass : 1254)
jωC

(2)

|A| = R1

α
0

0
α
0

−1
α
0

0
1
+ R2 R1
0
α + R5
R1

0
R1
+ R2
α + R5
R1

−1
0
α + R5
−1
α + R5

0
1
+R2 α
α + R5
R1

(3)
(4)

|A| = R1 α(R5 + α) + R1 R2 (α + R5 ) + R2 α(α + R5 + R1 )

(7)

2

= (R1 + R2 )α + (2R1 R2 + R1 R5 + R2 R5 )α + R1 R2 R5

(8)

また、オペアンプの入力電圧を V− V+ とし、理想的なオペアン
プとすれば V− = V+ と表すことができる。従って、5 の地点での

クラメルの式より、Vin − Vout = β とすると

電圧は 0 であるため、

Vout = −R5 I54

(5)

I54 =

1

−1

−1

0

1 R1
|A| R1

R2
0

0
1
jωC

Vin
β

R1

0

0

β

と表すことができる。
式 (1)〜式 (4) までを考えると、未知数が 4、変数 (電流値) が 4 の

右辺の分子を第二列で展開すると

ため I54 を求めることができる。そして、求められた I54 を式 (5) に

1

−1

−1

0

代入することでこの回路で伝達関数(Vout /Vin ) を求めることがで

R1
R1

R2
0

0
1
jωC

Vin
β

R1

0

0

β

きる。
まず、式 (1)〜式 (4) までを行列式で表すと

=

α

=

R1

Vin

R1

β

R1
R1

0
α

Vin
1
β + R2 R1

−1
α

0
β

R1

0

β

0

β

+ R2

R1

β

R1

β

+R2 α

R1
1

0

R1

β

= R1 α(β − Vin ) + R2 αβ

(9)

式 (9),(8) を用いて I54 を表すと

I54 =

αβ(R1 + R2 ) − αR1 Vin
|A|

(10)

式 (10) を式 (5) に代入すると

αβ(R1 + R2 ) − αR1 Vin
|A|

(11)

Vout |A|
= αR1 Vin − αβ(R1 + R2 )
R5

(12)

Vout |A|
= αR1 Vin − α(Vin − Vout )(R1 + R2 )
R5

(13)

Vout = −R5

Vout |A|
− α(R1 + R2 )Vout = αR1 Vin − αVin (R1 + R2 )
R5
)
(
|A|
− α(R1 + R2 ) Vout = −αR2 Vin
R5
Vout
αR2 R5
=
Vin
αR5 (R1 + R2 ) − |A|
Vout
αR2 R5
=
Vin
(R1 + R2 )α2 + 2R1 R2 α + R1 R2 R5
Vout
αR2 R5
= (R +R ) 2R R
1
2
1 2
Vin
+ R1 R2 R5
2 +
(jωC)

(14)
(15)
(16)
(17)
(18)

jωC

Vout
R2 R5 (jωC)
=
Vin
(R1 + R2 ) + 2R1 R2 (jωC) + R1 R2 R5 (jωC)2

(19)
(20)

ここで、jω = s とすると

Vout
R2 R5 (sC)
=
Vin
(R1 + R2 ) + 2R1 R2 (sC) + R1 R2 R5 (sC)2
1
s
Vout
= (R +R ) R1 C2R R
1
2
1 2
2
Vin
R1 R2 R5 C 2 + R1 R2 R5 C s + s

(21)
(22)



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