資料紹介

2014年度における明星大学・通信教育課程・代数学1(PF2010)（単位1,2)の合格レポートです。
2017年度も同じ課題です。
1単位目：
1. Gを群とする。任意のx,y∈Gに対して(xy)^2=x^2 y^2が成り立つならば、Gは可換群であることを示せ。ただし、群の公理のみを使って示すこと。
2. G = R – {-1}とし、 a*b=a+b*abを考える。ただし右辺は実数における普通の和と積である。
(1) 集合Gはこの演算で閉じていることを示せ。すなわちa,b ∈Gならa*b ∈Gとなることを示せ。
(2)

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2014 年度
1.

PF2010 代数学 1

1 単位目

G を群とする。任意の𝒙, 𝒚 ∈ 𝑮に対して(𝒙𝒚)𝟐 = 𝒙𝟐 𝒚𝟐が成り立つならば、G は可換群であることを示
せ。ただし、群の公理のみを使って示すこと。
(xy)2 = 𝑥 2 𝑦 2 の時、左辺は𝑥𝑦𝑥𝑦, 右辺は𝑥𝑥𝑦𝑦となる。
xyxy = (xy)2 = 𝑥 2 𝑦 2 = 𝑥𝑥𝑦𝑦
∴ 𝑥𝑦𝑥𝑦 = 𝑥𝑥𝑦𝑦
∴ 𝑦𝑥 = 𝑥𝑦
となり、G は可換群である。

2.

G = R – {-1}とし、 𝒂 ∗ 𝒃 = 𝒂 + 𝒃 ∗ 𝒂𝒃を考える。ただし右辺は実数における普通の和と積である。

(1) 集合 G はこの演算で閉じていることを示せ。すなわち𝒂, 𝒃 ∈ 𝑮なら𝒂 ∗ 𝒃 ∈ 𝑮となることを示せ。
𝑎 ∈ 𝐺より 𝑎 ≠ −1
𝑏 ∈ 𝐺より𝑏 ≠ −1
このとき𝑎 ∗ 𝑏 ≠ −1となることを対偶によって示す。
a ∗ b = −1と仮定する。
−1 = 𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑎𝑏
= ( 𝑎 + 1)(𝑏 + 1) − 1
∴ (𝑎 + 1)(𝑏 + 1) = 0
∴ 𝑎 = −...

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