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数学概論解答

１．各種の量の特徴について記述しなさい。続いて、各種の関数の特徴について整理分類して記述しなさい

空間的量、時間的量、物的量については、量の分割、合成に際して、大きさは下方的である。また、大きさは適当な単位で実数として表現でき、加減の演算が適用できる。速さ、密度、濃度、比率、平均値などについてはそれぞれの量を構成する要素を適当な単位で計れば、実数として表現できる。また、それぞれの量と構成要素との間に、特定の演算関係が成立する。

各関数の特徴はわからないです。
２．確立における「順列」と「組み合わせ」のそれぞれについて、具体的な場面を想定して説明しなさい。

　nPrで表されるものを順列という。nの数を順に(n-1)･(n-2)･(n-3)…･(n-r+1)とそれぞれ掛け算していく。ｎには全ての数字、ｒには試行回数が入る。具体的な例で、1~5までの数字が書いてあるカードを使って3桁の数字を作る時の全てのパターンの数は、5P3=5*4*3=60となる。また、先に述べたカード全てを並べた時のパターンの計算方法は、nPn=n!とすることができ、nをn回試行することを言う。上のカードの例で言うと、5!=5*4*3*2*1=120となる。

　nCrで表されるものを組み合わせという。これはn個の中からr個取った時のパターンのことである。式は、nCr=nPr/r!=n!/r!(n-r)!=nCn-rと計算する。上のカードの例でいうと、5枚のカードから3種類を出した時に出てくるカードのパターンは、5C3=60/6=10となる。
３．集合における交換法則、結合法則、分配法則、ドモルガンの法則について説明しなさい。

　集合における、交換法則とは、集合Aと集合Bの積集合（A∩B）や、集合Aと集合Bの和集合（A∪B）を、A∩B＝B∩A、A∪B＝B∩Aとすることをいう。

　結合法則とは、集合Aと集合Bの積集合が集合Cと共に積集合（A∩B）∩C、集合Aと集合Bの和集合が集合Cと共に和集合（A∪B）∪Cである時、（A∩B）∩C＝A∩（B∩C）、（A∪B）∪C＝A∪（B∪C）とすることをいう。

　分配法則とは、集合Aと、集合Bと集合Cの和集合が積集合A∩（B∪C）、集合Aと、集合Bと集合Cの積集合が和集合A∪（B∩C）である時、A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A∩C）、A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∪B）とすることをいう。

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　ドモルガンの法則とは、集合Aと集合Bの積集合の補集合A∩B、集合Aと集合Bの和

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集合の補集合A∪Bを、A∩B＝A∪B、A∪B＝A∩Bとすることをいう。
４．「バラ数」の計算方法の仕組みについて、具体的な計算を例に記述しなさい。続いて、予想される「バラ数」の教育的効果について記述しなさい。
　バラ数とは、数の各くらいの頭に単位を付して、数を数の合成と考えて捉えていく方法である。また、そのような考えの下計算を行うことを、バラ数計算と呼ぶ。1が12345個集まったものと捉えるのではなく、1万と2千と3百と４十と５一が合成された数と捉えることになる。例えば、足し算で言うと、123+579は、まず一の位を3+9で計算する。ここでの解は11となり、一の位に1を残し、繰り上がった1を十の位に更に足して1+2+8と計算する。ここでの解は10となり、十の位に0を残し、繰り上がった1を百の位に更に足して1+1+5と計算する。百の位の解は7となり、百の位から数えて701を答えとする。

　バラ数計算は単純でミスが怒りにくく、ミスしたとしても判別し易い為、小学校段階からトレーニングができる。また、桁数の多い筆算の場合、計算の途中段階で終えたとしても、それが概数になっているということと、そうした概数思考の訓練をおのずと行うことができる。
５．アフィン変換と射影変換の法則が成り立つ現実場面について、図を描いて詳しく説明しなさい。

　アフィン変換

　太陽光による影などでアフィン変換を行う。図１はガラスと平行に板を置き、ガラスに貼った絵を影として映す。ガラスにある形は平行移動して合同な図形のまま板に映る。図２はガラスの下に板を置き、ガラスに貼った絵を影として映す。ガラスにある図は横方向へは合同に映るが、縦には伸びたり縮んだりして映る。その差はどの辺も同じ比率になる。

　アルベルティの作図法を用いて射影変換を行う。図３では、消失点を中心に、画面を均等にいくつかに分割し、視点の高さと距離を測り、その距離に従って画面に直線を引いていくことで、三次元的な平面を描写している。

　

６．条件付き確率について、具体的な場面を想定して説明しなさい。

　条件付き確率とは、例えば事象A,Bを考える際、事象Aが起こるという条件の下で別の事象Bが起こる確率、事象Aが起こった時の事象Bが起こる確率のことである。式にすると、P（B|A）=PA（B）=ｎ（A∩B）/ｎ（A）=P（A∩B）/P（A）となる。

　例えば、あるクラス40人の生徒の男女別、兄弟が1人はいる人数は男9人、女8人、1人もいない人数は男10人、女13人だった。この中から１人を抽出して兄弟がいるかいないかを尋ねる場合、抽出されたのが女であったとき、その女に兄弟がいる確率は、女子の人数、ｎ(Ａ)=21 、女子で兄弟がいる人数、ｎ(Ａ∩Ｂ)=8、PA(B)=8/21となる。
７．自然数、整数、有理数、小数、実数のそれぞれの数の特徴について記し、続いてこれらの数の相互関係について記しなさい。

　自然数は１、２、３、４のような、実際に見て数えることが出来、分数や無理数でない数字である。自然に存在し、数値も明確である。

　整数は自然数を含み、０と負の数を含むものである。これも分数や無理数でない。

　有理数は整数を含み、分数や小数を含むものである。これは整数と大きく異なり、１の次は２と決まっておらず、2/3や3/5など、細かい数字となる。

　小数は有理数の中に含まれ、
８．倫理の命題、合接、離接の意味について記述し、真理表を作成しなさい。

　命題とは、真か偽か、いずれかと判断できる事柄のことをいう。

合接とは、2つの命題ｐ、ｑについて、これら２つの命題が共に起こることを示す命題ｒを、命題ｐ、ｑの合接と呼び、ｐ∧ｑ（ピーおよびキュー）で表す。

離接とは、２つの命題ｐ、ｑについて、ｐ、ｑのいずれか一方または両方が起こる命題ｒを、命題、ｐ、ｑの離説と呼び、ｐ∨ｑ（ピーおよびキュー）で表す。

９．点・直線・平面・立体・空間の関係について記述しなさい。続いて、二面角、三面角について図をかいて詳しく記述しなさい。

　直線は、異なる2点によって一つ決まる。平面は、一直線上にない3点によって一つ決まる。

　立体を切断する時、1点を基準に切った時の面は無数にある。2点の場合も同様に無数にある。3点の場合の面は1通りある。

　直線と点によって平面を作る時、直線と直線状に無い点を含む平面は一つある。相違なるに直線がまず割る場合、似直線を含む平面は一つある。相違なるに直線が平行な場合、似直線を含む平面は一つある。

　平面ａ，ｂを組み合わせた時、ａ，ｂ両方に含まれる点が無い時、ａ，ｂは平行である。ａ，ｂの両方が一つの直線を含む時、ａ，ｂは交わる。

　空間内に直線と直線がある時、平面的に直線が交わる時、それは一つである。平行に直線が並ぶ時、平面にあると言える。いくつかの直線の間に空間があり、平行でない時、それらはねじれの位置にあると呼ぶ。

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