佛教大学の幾何学概論(最新2013年版)の第2設題のレポートになります。
【B評価】:良く勉強されてます、のコメント頂いてます。
本年度より設題1,2,4の問題が変更されています。
ご参考いただき、皆さまのお役に立てば何よりです。
<2013年度版>
第2設題
つぎの問いに答えよ。
(1) 実数列 が に収束しているとする。このとき、実数列 がコーシー列であることを、定義にもとづき証明せよ。
[証明]
実数列 が に収束しているとする。任意の に対して自然数 ならば、 となる自然数 が存在する。
すると、自然数 ならば、
よって実数列 が に収束しているときコーシー列の定義を満たすので、実数列 はコーシー列である。
(証明終り)
(2) 実数列 が に収束し、実数列 が に収束しているとする。このとき実数列 が に収束することを定義にもとづき証明せよ。
[証明]
実数列 が に収束しているとする。任意の に対して、 ならば、 となる自然数 が存在する。同様に、実数列 が に収束し、 ならば となる が存在する。
ここで、 とおくと、 ならば、
以上より、実数列 は に収束することが示せた。
(証明終り)
2. 距離空間 とする。つぎの問いに答えよ。
(1) 部分集合 とする。 が の触点であることの定義を(近傍の概念を用いて)述べよ。
[定義]
の部分集合...