資料紹介

1単位目
【課題】
１．Gを群とする。任意のx,y∈G に対して(xy)^2=x^2 y^2 が成り立つならば，Gは可換群であることを示せ。ただし，群の公理のみを使って示すこと。
２．G=R-⟨-1⟩ とし，演算a*b=a+b+ab を考える。ただし，右辺は実数における普通の和と積である。
（１）集合Gはこの演算で閉じていることを示せ。すなわち，a,b∈G ならa*b∈G となることを示せ。
（２）(G,*) は群になることを示せ。
（３）3*x*2=5 を満たすx∈G を求めよ。
３．正三角形の二面体群D_6 の自明でない部分群をすべて求めよ。
２単位目
【課題】
１．σ=(■(1&2&3@↓&↓&↓@5&3&1) ■(4&5&6@↓&↓&↓@2&4&7) ■(7@↓@6) ) は偶置換か奇置換かを調べよ。
２．二面体群D10の共役類を求めよ。
３．整数ｎに対して，φ(n)=i^n と定める。ただし，iは虚数単位。
（１）φ は加法群Zから乗法群Cxへの準同型写像であることを示せ。
（２）φ の像と核を求めよ。
（３）φ の準同型定理を適用するとどのようなことが分かるか。

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1 単 位 目
【 課 題 】
..
. が 成 り
の公理のみを使って示すこと。
２．.=.−〈−1〉とし，演算.∗.=.+.+..を考える。ただし，右
辺は実数における普通の和と積である。
わち，.,.∈.なら.∗.∈.となることを示せ。
（２）..,∗.は群になることを示せ。
（３）3∗.∗2=5を満たす.∈.を求めよ。
３．正三角形の二面体群..の自明でない部分群をすべて
求 め よ 。
１． ... .
. = .
..
.の左辺と右辺は，それぞれ
... .. = .... （ 左 辺 ）
.
..
. = .... （ 右 辺 ）
左 辺 ＝ 右 辺 よ り ，
.... = .... ・ ・ ・ ①
群 の 公 理 よ り ， ..
.. = . = .
る 。 ま た ， ..
.. = . = .
.
.. .... = .
.. ....
... = ...
y - 1 を 右 か ら か け て ，
....
.. = ....
..
.. = ..
従って，任意の.,.∈.に対して........

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