連関資料 :: 準正
資料:3件
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準正多面体
- ? はじめに 数学者パップスは、自著「数学全集」第五巻の中で、13個の多面体の発見はアルキメデスによるものとしている。彼は、次のように記している。「全ての種類の面を持つ多くの立体を思いつくことは出来るが、正則的に構成されたように見えるものは最も注目に値する。これには、神のようなプラトンの中に見られる5つの図形だけでなく･･･アルキメデスによって発見された、等辺・等角だが相似ではない多角形に囲まれた13個の立体も含まれている。」 私は、「正多面体」の形や規則性に興味を持ち、条件を拡張した「準正多面体」について調べてみようと思った。本稿は、「準正多面体」の成り立ちについて述べ、その性質についても述べている。 ? 平面充填形 一.一種の正多角形による平面充填 まず、正多角形による平面充填を考えるが、その前に正多角形について述べる。正多角形とは、等辺等角多角形、即ち各辺の長さと各角の大きさがそれぞれ同一であるｎ角形のことである。但し、ｎは３以上の自然数である。正多角形は無限個存在する。 正多角形は平面、即ち二次元での話であるが、空間、即ち三次元で考えてみる。これに相当するのが正多面体である。正多面体については授業で詳しく習ったのでここでは後で述べる部分と関係のある部分のみ述べる。 正多面体は五種類しか存在しない。これは次の性質を基礎にしている。即ち、凸な角錐の頂点に会する各多角形の内角の和は、360度より小さい、ということである。この仮定により正多面体は五種類しか存在しない事が示される。 さて、ここでこの仮定を、一つの頂点の周りの内角の和360度とすれば、平面を隙間無く埋める平面充填形ができる。 二．異種の正多角形による平面充填 ここでまた上の仮定を、辺の長さは全て等しいが辺数の相異なる二種以上の正多角形による充填形に拡張して考える。これを始めて研究した学者の名をとって、このような充填形をアルキメデスの平面充填形という。このような平面充填形を表現するには、一つの頂点の周りの各正多角形の辺数をその順に並べて、[4,6,12]のように表す。括弧の中は順不同である。
- レポート 理工学 多面体 立体 充填
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3-6正準変換
- 正準変換 座標変換の一般化。 ここまでが基礎だ これから正準変換の説明を始めることにしよう。 本当は第１部の「基礎の基礎」の中の仕上げとして入れるつもりだったのだが、これを理解するための自然な流れとして変分原理を知っておくのが良いと思い、このような順序で説明することになった。 よって、私の見方で行けば、ここまでが解析力学の「基礎」である。 まぁ、このサイト全体が基礎レベルなのでようやく「基礎の基礎」ってとこだ。 しかし偉そうなことは言うまい。 私が学生の頃にはここまで理解できていなかった。 しかも、そこらの難しい書き方をしている教科書には未だに手が出せないでいる。 ああ、なんとレベルの低い情けない話だろう。 もっともっと上があるのだ。 まぁ、そんな事が言えるくらいのところまで来れたことは素直に喜ぶべきだろうか。 正準変換とは何か？ ラグランジュ方程式は座標変換に対して不変であった。 そしてハミルトンの正準方程式もそうである。 ところで、ハミルトン形式では座標と運動量は対等な立場の変数として論じられるのであった。 それであるのに「座標変換」しかないのはどういうわけだ、不自然じゃないか、というのである。 全く無茶なことを言ってくれる。 しかし、学問というのは一見無茶に見える要求に何とか応えようとして発展してきたものであるようだ。 この辺りの事情をもう少し詳しく話そう。 座標変換によって座標 q が新しい座標 Q で書き表されるとする。 この時、 q と Q の間には１対１の対応が成り立っていなくてはならない。 つまり Q は qi の関数として表される。 q → Q( q1, q2, .... q3N ) 一方、座標が変換されれば、当然それに応じて運動量も変換を受けることになるだろう。 しかし、新しい運動量は元の運動量の関数にもなっているはずだ。 p → P( q1, q2, .... q3N, p1, p2, .... p3N ) 新座標は旧座標だけの関数なのに、新運動量は旧座標と旧運動量の関数になっている。 この辺りのアンバランスが気に入らないのである。 いっそのこと、新座標も旧運動量によって決まるような一般的な変換を考えてはどうだろうということになる。 q → P( q1, q2, .... q3N, p1, p2, .... p3N ) p → Q( q1, q2, .... q3N, p1, p2, .... p3N ) こうすれば座標と運動量は本当に対等の立場に立てることになるではないか。 もうメチャクチャである。 座標が運動量で決まるなんて、相対性理論を思い浮かべるような話だ。 実は相対性理論というのは解析力学をお手本にしたふしがあるのだが。 このような形のあらゆる変換を認めてしまえば、せっかくの正準形式の理論が使えなくなってしまう可能性が出てくる。 そこで一つだけ次のような条件を課することにしよう。 「変換してもハミルトンの正準方程式の形式が成り立つこと」 そのような変換を「正準変換」と呼ぶことにする。 この定義によれば、全ての「座標変換」は正準変換の一部として含まれることになる。 つまりこれからやろうとしているのは、「座標変換」をもっと広い意味を持つ「正準変換」に拡張するという作業なのである。 変分原理の応用 ( p, q ) 系を ( P, Q ) 系に変換してもハミルトンの正準方程式が成り立つということは、変換後の新しいハミルトニアンを K として、 が成り立つということであ
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