連関資料 :: 微分方程式
資料:1件
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1-4状態方程式の微分形
- 状態方程式の微分形 最小限必要な偏微分の知識 全微分形式 理想気体の圧力、体積、温度を結びつける式については前に p V = n R T であるとした。 つまり p, V, T の内の２つの量が決まれば、残りの１つは自動的に決まってしまうということだ。 そこで、体積 V は温度 T と圧力 p の関数 V ( T, p ) であると考えて、次のような式を作ることが出来る。 なぜこのような表現が出来るかについてはきちんと説明しておこう。 軽々しく納得していいところではない。 ・・・とか言いつつも、解析力学のところでやった 以前の説明 はいい加減なものだったが。 温度と圧力がわずかに変化することで、体積がわずかに変化したとする。 その変化は次のように書ける。 これを変形してやれば、 と書けるが、ΔT と Δp について無限小の極限を考えれば、分数で表した部分は微分の定義式そのものである。 ただし高校で習う１変数のみの微分とは少しだけ違っていて、初めの項の中の分数の部分は p の値を固定したままでの T による微分を表しており、２項目の分数の部分は T の値を固定したままでの p による微分になっている。 このように他の変数を固定して行う微分を、通常の微分と区別して「偏微分」と呼び、記号も d の代わりに ∂ を使って区別する。 計算自体は全く難しくない。 考えている以外の変数を定数と見なして微分すればいいだけのことだ。 偏微分を書き表すのに、例えば、 と書いた場合、これは変数 x, y を固定して z で微分することを意味するのだが、もっと簡略化して、 のように固定した変数を右下に書いて表すことがある。 変数が分かっている場合には、右下の変数名さえ省略するし、そうする方が普通なのだが、熱力学ではどの変数を一定に保ったまま状態を変化させるかというところが重要なので、忘れないようにメモ代わりに書いておく習慣になっている。 それで先ほどのような表現が出来ることになるわけだ。 もう一度書いておこう。 ・・・ (1) このような表現を「完全微分」あるいは「全微分」と呼ぶ。 もちろん圧力 p や温度 T についてもそれぞれ p( V, T ) や T( V, p ) であると考えることが出来て、同じように全微分形式で書くことが出来る。 ・・・ (2) ・・・ (3) ３通りの表現が出てきたが、どれを使っても本質的には同じ式である。 その時々に応じて一番便利だと思うものを使うことになる。 相関係数 色々な気体の性質の違いを比較するために、実験で p, V, T の間の関係を調べ、幾つかの相関係数として表すことが行われる。 (1) 式が便利な点は、式の中で使われている偏微分係数が、よく使われる相関係数の定義に近い形になっていることである。 例えば、(1) 式の第１項目の偏微分は圧力を一定に保ったまま温度を変化させた時の体積変化を表しているが、これを体積で割ったものは「定圧膨張率」あるいは「熱膨張率」として良く使われる値である。 また第２項目の偏微分を体積で割ったものにマイナスをつけたものは「等温圧縮率」として良く使われる値である。 マイナスが付くだけで難しく見えてしまうが、このマイナスは大した理由ではない。 圧力が増せば体積は減るのでこの偏微分の値は常にマイナスになってしまう。 係数が常にマイナスになるのはかっこ悪いのでそれを防ぐために付けてあるだけだ。 これらの係数を使って (1) 式を
全体公開 2007/12/26- 閲覧(6,047)
