資料紹介
BPF(Band Pass Filter)
21 1 26
1 問題
次の回路の伝達関数を求めよ。
2 解法
まず、Fig.1の回路方程式を立てるため、各経路における電流を
変数 I12 I23 I25 I24 I54(suffixが各経路をあらわしている)とする
とキルヒホッフの第一法則、第二法則を用いて
I12 = I23 + I24 + I54 (I25 = I54 :virtual short) (1)
Vin R1I12 R2I23 = 0 (pass : 123) (2)
Vin R1I12
I24
j!C
= Vout (pass : 1246) (3)
Vin R1I12
I25
j!C
R5I54 = Vout (pass : 1254) (4)
また、オペアンプの入力電圧を V V+ とし、理想的なオペアン
プとすれば V = V+ と表すことができる。従って、5 の地点での
電圧は 0 であるため、
Vout = R5I54 (5)
と表すことができる。
式(1)～式(4)までを考えると、未知数が4、変数(電流値)が4の
ためI54を求めることができる。そして、
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資料の原本内容
回路方程式による伝達関数の導出
―多重帰還形 BPF(Band Pass Filter)―
増成伸一
平成 21 年 1 月 26 日
1
問題
次の回路の伝達関数を求めよ。
1
−1
−1
−1
R1
R1
R2
0
0
1
jωC
0
0
R1
0
0
(
1+jωCR5
jωC
)
I12
I23
0
Vin
Vin − Vout
Vin − Vout
=
I24
I54
上式を次のように表す。
Ax = B
(6)
I54 のみわかればいいのでクラメルの式を使う。従って、まず
|A| を求めると
|A|
=
1
R1
−1
R2
−1
0
R1
0
1
jωC
R1
2
解法
0
−1
0
(
0
0
1+jωCR5
jωC
)
1
第二列で展開し、 jωC
= α とすると
まず、Fig.1 の回路方程式を立てるため、各経路における電流を
R1
|A|= R1
R1
変数 I12 I23 I25 I24 I54 (suffix が各経路をあらわしている) とする
とキルヒホッフの第一法則、第二法則を用いて
I12 = I23 + I24 + I54
(I25 = I54 : virtual short)
(1)
Vin − R1 I12 − R2 I23 = 0
(pass : 123)
I24
Vin − R1 I12 −
= Vout (pass : 1246)
jωC
I25
Vin − R1 I12 −
− R5 I54 = Vout (pass : 1254)
jωC
(2)
|A| = R1
α
0
0
α
0
−1
α
0
0
1
+ R2 R1
0
α + R5
R1
0
R1
+ R2
α + R5
R1
−1
0
α + R5
−1
α + R5
0
1
+R2 α
α + R5
R1
(3)
(4)
|A| = R1 α(R5 + α) + R1 R2 (α + R5 ) + R2 α(α + R5 + R1 )
(7)
2
= (R1 + R2 )α + (2R1 R2 + R1 R5 + R2 R5 )α + R1 R2 R5
(8)
また、オペアンプの入力電圧を V− V+ とし、理想的なオペアン
プとすれば V− = V+ と表すことができる。従って、5 の地点での
クラメルの式より、Vin − Vout = β とすると
電圧は 0 であるため、
Vout = −R5 I54
(5)
I54 =
1
−1
−1
0
1 R1
|A| R1
R2
0
0
1
jωC
Vin
β
R1
0
0
β
と表すことができる。
式 (1)〜式 (4) までを考えると、未知数が 4、変数 (電流値) が 4 の
右辺の分子を第二列で展開すると
ため I54 を求めることができる。そして、求められた I54 を式 (5) に
1
−1
−1
0
代入することでこの回路で伝達関数(Vout /Vin ) を求めることがで
R1
R1
R2
0
0
1
jωC
Vin
β
R1
0
0
β
きる。
まず、式 (1)〜式 (4) までを行列式で表すと
=
α
=
R1
Vin
R1
β
R1
R1
0
α
Vin
1
β + R2 R1
−1
α
0
β
R1
0
β
0
β
+ R2
R1
β
R1
β
+R2 α
R1
1
0
R1
β
= R1 α(β − Vin ) + R2 αβ
(9)
式 (9),(8) を用いて I54 を表すと
I54 =
αβ(R1 + R2 ) − αR1 Vin
|A|
(10)
式 (10) を式 (5) に代入すると
αβ(R1 + R2 ) − αR1 Vin
|A|
(11)
Vout |A|
= αR1 Vin − αβ(R1 + R2 )
R5
(12)
Vout |A|
= αR1 Vin − α(Vin − Vout )(R1 + R2 )
R5
(13)
Vout = −R5
Vout |A|
− α(R1 + R2 )Vout = αR1 Vin − αVin (R1 + R2 )
R5
)
(
|A|
− α(R1 + R2 ) Vout = −αR2 Vin
R5
Vout
αR2 R5
=
Vin
αR5 (R1 + R2 ) − |A|
Vout
αR2 R5
=
Vin
(R1 + R2 )α2 + 2R1 R2 α + R1 R2 R5
Vout
αR2 R5
= (R +R ) 2R R
1
2
1 2
Vin
+ R1 R2 R5
2 +
(jωC)
(14)
(15)
(16)
(17)
(18)
jωC
Vout
R2 R5 (jωC)
=
Vin
(R1 + R2 ) + 2R1 R2 (jωC) + R1 R2 R5 (jωC)2
(19)
(20)
ここで、jω = s とすると
Vout
R2 R5 (sC)
=
Vin
(R1 + R2 ) + 2R1 R2 (sC) + R1 R2 R5 (sC)2
1
s
Vout
= (R +R ) R1 C2R R
1
2
1 2
2
Vin
R1 R2 R5 C 2 + R1 R2 R5 C s + s
(21)
(22)
