表面張力（水波）

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資料紹介

１．目的
水の表面張力を｢Jo11y(ヨリー)のぜんまい秤｣を用いて直接的に求める方法と、[水波の伝播速度]の測定から間接的に求める方法を採用し、1つの物的定数のいろいろな物理現象へのかかわりを理解する。
水面を伝わる水波の伝播速度を測定し、そこから水面張力を算定する。
２．理論
水平な液体の自由表面に外から摂動が加わると、表面の一部は平衡からずれて、液体に運動が生ずる。この摂動のスケールで見ると液体は運動のあらゆる瞬間で密度が一定で非圧縮性を示すと考えてよいため、初めの水面から下がった部分は、この領域から外へ流れ出ることになる。また、乱された液体表面の実質部分には、復元力が働いて再び平坦になろうとする。したがって、表面付近の運動は鉛直方向、水平方向の両成分をもってまわりに波及し、液面の変位は波動となって全表面に伝播する。このときの復元力には、重力と液体の表面張力が関与し、ともに増加した表面エネルギーを減少させるように作用する。また、液体の実質部分の運動は主に表面近くに生じていて、その影響は内部にも及ぼされるが、深くなるにつれて急激に小さくなる。したがって、液面を伝わる波（表面波）の伝播速度は重力と表面張力、さらには波長や液体の深さにも依存することが予想される。
図１
ここでは、波長に比べて深さの深い水面に伝わる水波の伝播速度と水の表面張力の関係を調べる。このような波が伝わるとき、水の実質部分は、図１のように、進行方向に鉛直な面内で、時計回りにほぼ円運動をしていて、この運動に位置と時計による位相のずれがあるため、全体として波が進行しているように見える。いま波長λ、振幅aの水波が進行しているとき、この波の速度を表す式を求めてみよう。ただし、λ≫аとする。そのために、波と同じ速度vで動く座標系に乗って波を見ることにする（図２）。すると、水面の形は時
図２
間に対して変化せず、水の全体の運動は定常的である。すなわち、水面から深く入ったところでは水の実質部は速さvで波の進行方向と反対に流れているとみなせ、他方、水面では、この一様な流れに上述の円運動が加わるわけで、円運動の角速動をωとすれば、水面の山A での流れの速さはv－aω、谷Bでは v＋aωとなる。そこで、水面に沿って細い流管を考えると、その中の流れは定常流であるからBernoulliの定理が適用できる。流管の各点における圧力をp、速度をv、高さをz、液体の密度をρ、重力の加速度をg、とすれば、各点で
　（１）
が成り立つ。
この関係をA とB に適用する。すでに述べたように、A での流れの速さはv－aω、Bでは v＋aωである。圧力に関しては、Aでは水面が凸、Bでは凹であるので、A,Bでの面の曲率半径をr1、r2とすれば、大気圧をp0、水の表面張力をTとして、Aでは、Bではとなる。高度差は2aであるからA、Bについて
　（２）
となる。次に曲率半径を求めるために、図２のように平衡状態の水面に沿ってx軸をとり、ある山を貫いて鉛直方向にy軸をとる。点P（x,y）にある水の実質部分について、円運動の中心位置をx’、回転角をθととると波動の周期性から、よりであるため、
　（３）
従って、A、 Bの曲率半径は、「テキストヤング率」の式を用いて
となる。（４）式を（２）式へ代入すれば
この式にをかけ、の関係を使うと
　（５）
を得る。
λが小さい場合は、（５）式の根号中の第２項以降は第１項に比べて無視できるから、表面張力の影響が顕著であり、このよう波長域の波を表面張力波あるいはさざ波という。
λ