分布定数回路

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資料紹介

１．　分布定数回路
　　１．１　目的
　　　　無損失同軸線路の送端にパルス電圧を印加して、その進行の様子を観測する。同軸線路の特性インピーダンス、その往復長を伝搬するのに要する時間を測定する。これらの量と同軸線路の絶縁物の比誘電率、内外導体の半径、線路長との関係を確認する。模擬無ひずみ線路についても同様の測定、確認を行う。
　　１．２　解説
　１．２．１　　分布定数回路の微分方程式
　　　　指導書図1.1のような、x方向に一様に回路定数が分布している分布定数回路において、単位長当りの抵抗、自己インダクタンス、容量、漏れコンダクタンスをそれぞれR、L、C、Gとする。この分布定数回路の位置x、時刻ｔにおける電圧、電流をv(x,t)、i(x,t)とすると以下のような関係を示すことができる。
　　　　　　v － {v ＋ (∂v/∂x)dx} ＝ (R dx)i ＋ (L dx)(∂i/∂t)
　　　　　　i － { i ＋ (∂i/∂x)dx} ＝ (G dx)v ＋ (C dx)(∂v/∂t)
　　　　これからv、iに関する互いに結合した微分方程式
　　　　　　　　　　－(∂v/∂x)　＝　R i ＋ L(∂i/∂t)
　　　　　　　　　　－(∂i/∂x)　＝　G v ＋ C(∂v/∂t)
　　　が得られる。これらの方程式は、両式をxで偏微分して代入することにより、
　　　　　　(∂2v/∂x2) ＝ LC(∂2v/∂t2) ＋ (LG ＋ CR)(∂v/∂t) ＋ RG v
　　　　　　(∂2i/∂x2) ＝ LC(∂2i/∂t2) ＋ (LG ＋ CR)(∂i/∂t) ＋ RG i
　　　のように分離できる。上式は電信方程式と呼ばれる二階偏微分方程式である。
　１．２．２　　無損失線路
　　（ⅰ）　電信方程式の解
　　　　上述した電信方程式においてR＝G＝0のとき、線路は無損失であるといい、式は
(∂2v/∂x2) ＝ LC(∂2v/∂t2)
(∂2i/∂x2) ＝ LC(∂2i/∂t2)
　　　のように簡単化される。簡単化された式は波動方程式と呼ばれ、一般解は（例としてvにおいて）、
v = φ(x＋ct) ＋ ψ(x－ct)
　　　の形で表される。ただしc＝1/√(LC)、φ、ψは任意関数である。
　　（ⅱ）　送端における条件
　　　　X≧0の領域に半無限長線路がある。x＝0、t＝0において、電圧Vを印加する。x＝0からの後進波はない。条件から、
v ＝ ψ(－ct) ＝ V u(ct)
１
　　　が得られる。u(ct)は、ct≧0のときには1に等しく、ct＜0のときには0に等しい単位階段関数である。この式からvの一般形が、
v ＝ ψ(x－ct) ＝ ψ{－(ct－x)} ＝ V u(ct－x)
　　　のように定まる。上式によればx≦ctのときv＝Vとなり、x＞ctのときv＝0となる。これは速さcでxの正の向きに進行する単位階段関数である。X＝0において時間的に任意に変化する波形は、重畳定理により、単位階段関数の重ね合わせとして表される。
　　（ⅲ）　受端における条件
　　　　X≦0の領域に半無限長線路がある。t ＝ t0において、単位階段関数前進波が受端に到達するものとする。X≦0の領域の電圧は
v = φ(x＋ct) ＋ ψ(x－ct)　　　(1)
　　　により表される。ψは単位階段関数前進波である。受端抵抗をRrとすると、x＝0における電圧と電流の間には、
v＝Rr i
　　　の関係がなければならない。この関係と１．２．１のv、