資料紹介
リーマン曲率
今回がリーマン幾何学の山場だろう。
曲がり具合を表す方法
自分のいる空間が曲がっているかどうか判定するためには平行移動の概念を応用すればいい。
例えば地球の表面でのことを考えてみよう。 まず赤道直下のある一点で、地面に北向きのベクトルを描く。 これをベクトル A としよう。 ベクトル A を赤道に沿って平行移動して地球の反対側にまで持って行ってもやはりこれも北向きのベクトルである。 これをベクトル B としよう。 ベクトル A と B を両方とも北極へ向けて平行移動したらどうなるか。 両者は北極点ではまったく正反対を向いたベクトルとなる。
一つのベクトルを、同じスタート地点からそれぞれ別ルートで平行移動させて行って最終的に同じゴール地点にたどり着いた時、ベクトルの方向が食い違ってしまっているということが起きる。 地面が曲がっている場合にはそうなるのである。
このことを別の表現をしても良い。 あるベクトルを平行移動させながら、ぐるりと一つの輪を描くようなコースで元の位置に戻ってくる時、そのベクトルは初めとは違う方向を向いてしまっている。 上の例で言えば、北極点を起点にして考えると分かり易い。 平らな地面では決してこんなことは起こらない。 よってこれを曲がり具合の度合いを表す数値「曲率」として採用したらどうだろうか。
しかしこれだけではまだ不安があるだろう。 地面が曲がっているにも関わらず、あるコースを一周してきたらベクトルの方向が元と変わりなかった、なんて偶然は絶対に起こらないと言い切れるだろうか。 例えば、道筋の途中まではずれが大きくなっていくのだが、途中から反対方向にずれていて先ほどのずれを打ち消していくとしたらどうだろう。 またベクトルの方向が３６０°ずれてしまった場合には、ずれたかどうだか判断が付かないことになる。
そのような不安を解消する方法がある。 曲率というだけあって、率を考えればいいのだ。
概して、大きな輪を描くコースを移動すればその移動分だけ大きなずれが生じる傾向がある。 小さな輪を描いて移動すればずれは小さく抑えられるはずだ。 行き返りで同じコースを通ったならば輪の面積は０だし、ずれも０となる。 この考えに矛盾は無さそうだ。
よってベクトルのずれの度合いを、輪を描いて一周するコースの面積で割ってやればいいのではなかろうか。 面積を無限小に近付けてやれば、「ある一点での曲がり具合」というものが求まるだろう。 これなら先ほど挙げた不安は解消だ。
このような概念が本当に使えるかどうか確かめるべく、数式で表してみよう。
数式表現
まず、スタート地点 P での共変ベクトル Ai ( P ) を dxj だけ平行移動して、中間地点 Q まで持って行ってやろう。
これをさらに dyn だけ平行移動して、次の点 R まで移動する。
初めの式を２番目の式に代入してやる。
ここで第２項目の Γmin ( Q ) だけが中間地点 Q での値となっていて扱いにくいので、次のように近似で表してやることにする。
これを展開してまとめよう。 今後は (P) という表示は邪魔なだけなので書かないことにする。
この最後の項は微小量が３次にもなっており、他の項に比べて小さ過ぎるので、今の内に捨ててしまうことにする。 それを言ったら、微小量が２次になっている項だって初めの項に比べて無視できるほど小さいわけだが、これは捨てない。 なぜなら、最初の３つの項はこの後の計算で消えてしまうので、２次の項を残
タグ
All rights reserved.
資料の原本内容
リーマン曲率
今回がリーマン幾何学の山場だろう。
曲がり具合を表す方法
自分のいる空間が曲がっているかどうか判定するためには平行移動の概念を応用すればいい。
例えば地球の表面でのことを考えてみよう。 まず赤道直下のある一点で、地面に北向きのベクトルを描く。 これをベクトル A としよう。 ベクトル A を赤道に沿って平行移動して地球の反対側にまで持って行ってもやはりこれも北向きのベクトルである。 これをベクトル B としよう。 ベクトル A と B を両方とも北極へ向けて平行移動したらどうなるか。 両者は北極点ではまったく正反対を向いたベクトルとなる。
一つのベクトルを、同じスタート地点からそれぞれ別ルートで平行移動させて行って最終的に同じゴール地点にたどり着いた時、ベクトルの方向が食い違ってしまっているということが起きる。 地面が曲がっている場合にはそうなるのである。
このことを別の表現をしても良い。 あるベクトルを平行移動させながら、ぐるりと一つの輪を描くようなコースで元の位置に戻ってくる時、そのベクトルは初めとは違う方向を向いてしまっている。 上の例で言えば、北極点を起点にして考えると分かり易い。 平らな地面では決してこんなことは起こらない。 よってこれを曲がり具合の度合いを表す数値「曲率」として採用したらどうだろうか。
しかしこれだけではまだ不安があるだろう。 地面が曲がっているにも関わらず、あるコースを一周してきたらベクトルの方向が元と変わりなかった、なんて偶然は絶対に起こらないと言い切れるだろうか。 例えば、道筋の途中まではずれが大きくなっていくのだが、途中から反対方向にずれていて先ほどのずれを打ち消していくとしたらどうだろう。 またベクトルの方向が３６０°ずれてしまった場合には、ずれたかどうだか判断が付かないことになる。
そのような不安を解消する方法がある。 曲率というだけあって、率を考えればいいのだ。
概して、大きな輪を描くコースを移動すればその移動分だけ大きなずれが生じる傾向がある。 小さな輪を描いて移動すればずれは小さく抑えられるはずだ。 行き返りで同じコースを通ったならば輪の面積は０だし、ずれも０となる。 この考えに矛盾は無さそうだ。
よってベクトルのずれの度合いを、輪を描いて一周するコースの面積で割ってやればいいのではなかろうか。 面積を無限小に近付けてやれば、「ある一点での曲がり具合」というものが求まるだろう。 これなら先ほど挙げた不安は解消だ。
このような概念が本当に使えるかどうか確かめるべく、数式で表してみよう。
数式表現
まず、スタート地点 P での共変ベクトル Ai ( P ) を dxj だけ平行移動して、中間地点 Q まで持って行ってやろう。
これをさらに dyn だけ平行移動して、次の点 R まで移動する。
初めの式を２番目の式に代入してやる。
ここで第２項目の Γmin ( Q ) だけが中間地点 Q での値となっていて扱いにくいので、次のように近似で表してやることにする。
これを展開してまとめよう。 今後は (P) という表示は邪魔なだけなので書かないことにする。
この最後の項は微小量が３次にもなっており、他の項に比べて小さ過ぎるので、今の内に捨ててしまうことにする。 それを言ったら、微小量が２次になっている項だって初めの項に比べて無視できるほど小さいわけだが、これは捨てない。 なぜなら、最初の３つの項はこの後の計算で消えてしまうので、２次の項を残しておかないと結局何も残らなくなってしまうという事情があるからである。
さあ、ようやくここまで来た。 後は来たのとは逆の順で引き返すだけだ。 ここから同じ要領で -dx だけ移動し、次に -dy だけ移動すれば、別コースで初期位置 P に戻った事になる。 しかしすでに数式はややこしくなっており、馬鹿正直に同じ手順を続ければ、ここまで以上の式変形の苦労が待っているだろう。
そこで、ちょっと楽することを考えよう。 すでに求めた結果は、スタート地点から dx、dy の順で移動したものだった。 この dx、dy の記号を入れ替えるだけで点 P から別コースを通って R 地点にたどりついた場合の結果となる。
この二つの式の差を取る事で手っ取り早く目的を果たしてしまおう、というわけだ。 初めの３つの項が打ち消しあうことはすぐに分かる。
ここで dx dy の部分はコースの面積であると言える形にはなっていないが、コースの大きさを表す量ではある。 この量を無限小に近付けようとも、式の他の部分に影響を与えるわけではない。 つまり、大カッコの中にある量こそ、コースの取り方や使ったベクトルに影響される事のない、空間の曲がり具合を表す本質的な量であると言えよう。 これを略して、
と表そう。 添え字を置き換えて書き直せばつまり、
が「リーマン曲率テンソル」の定義だというわけだ。 これは第２部で紹介した定義と同じものになっているが、この定義は教科書によっては逆符号で定義される場合もある。 コースをどっち回りしたかという考え方の違いだけだ。
結果の式だけ見て意味を類推するのは非常に難しいが、元になった考え方そのものは単純だっただろう。 これが本当に「テンソル」であるかどうかの確認はこの後で行う。
共変微分の交換
突然だが次のような計算をしてみよう。
これは Ai を xk で共変微分してから xj で共変微分するのと、その逆の順で計算するのとで、違いが出るかどうかを調べようというのである。 まずは第１項から計算しよう。 第２項は後から j と k を入れ替えればいい。
これの j と k を入れ替えて差を取れば、第１項、それと２行目、３行目が消える。 結果をまとめれば、
であり、これが０にならないという事は、つまり共変微分というのは演算の順序によって差が出るということである。 これは普通の微分とは大きな違いである。
しかしよく見るとこの右辺にはリーマン曲率テンソルと同じ形が含まれるではないか！ すなわち、
ということだ。 リーマンテンソルの定義としてこのようなやり方を採用する事も出来るのである。 この方がすっきりしている。 しかし「これがリーマンテンソルの定義だ」といきなり言われてもなぜこんなものを考える必要があるのか、と騙されたような気分になる人もいるだろう。 それでイメージが掴み易い説明を予めしておいたのである。
ところで、この式の左辺は３階の共変テンソルである。 一方、右辺の A t は共変ベクトルだったのであり、 このことからリーマンテンソルは確かにテンソルであると言えることになる。
リーマンテンソルの対称性
上で出てきたリーマンテンソルは混合テンソルなので、対称性が調べにくい。 そこで、gij を作用させることで、純粋な「４階の共変テンソル」に変換してみることにしよう。
このように変換したところで見通しが良くなるだけのことであり、自由度は変わらない。 これは例えば３次元の共変ベクトルを反変ベクトルに変換しても独立な成分の数は３つのままであるのと同じ話で、新たな情報が加わるわけではないということだ。
さて定義から考えて、次のような関係があることが分かる。
要するに、前２つの添え字だけ、あるいは後ろ２つの添え字だけを入れ替えると符号が変わり、前２つのペアと後ろ２つのペアをごそっと入れ替えたものは同じ値になるということだ。
定義式を眺めているだけでこの関係を見出すのはなかなか難しいだろう。 実はこれを導くためのうまい方法はあるのだが、やはり少々面倒であるから、少し後の別の記事の中で紹介するつもりである。 今回の記事の目的はリーマンテンソルを概観することにあるので、あまり細かな事で横道に逸れたくは無い。
４次元の場合、リーマンテンソルの添え字の組み合わせは２５６通りあることになるが、そのほとんどは同じ数値か符号が違うだけだという事が上の関係式から分かる。 例えば添え字を入れ替えると符号が変わる場合があるが、こういうときに添え字を入れ替えた結果が自分自身になる場合などは、許される数値としては０しかありえない。 こんな具合に０となってしまう成分もかなり多いということだ。 私はこういうのを数え上げてすっきりまとめるのが好きである。 ここでやってしまおう。
まず、２５６通りの成分を次の５つの場合に分類する。
(Ａ) 添え字が全て同じ場合 ４通り (Ｂ) 添え字が３つだけ同じ場合 4*3*4 = ４８通り (Ｃ) 添え字が同じものが２組ある場合 4*3*3 = ３６通り (Ｄ) 添え字が同じものが１組だけある場合 4*3*6*2 = １４４通り (Ｅ) 添え字が全て異なる場合 4*3*2= ２４通り このうち、Ａ，Ｂ，Ｅ は非常に簡単である。 Ａ はどこをどう入れ替えても自分自身になる。 よって０でなくてはならない。 Ｂ は前の２つ、あるいは後の２つが必ず同じ添え字である。 これらを入れ替えたものは自分自身になる。 よってすべて０。 Ｅ はどう入れ替えても自分自身にはならない。 よって０になってしまう心配はない。 Ｅ に属するメンバーを一つ持ってきて、前の２つだけを入れ替えたもの、後の２つだけを入れ替えたもの、両方を入れ替えたもの・・・さらに前２つペアと後２つペアを入れ替えて同じように入れ替えたものを考える。 この操作で８通りが作れるが、どれも E に属している...
