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2024年度 明星大学・通信教育課程・PF2022 代数学3の合格レポートです。成績優をいただきました。【解答は、理系卒業者による自身で作成後、添削済の正答です】
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ＰＦ２０２２
代数学３
２単位目 レポート課題
【課題１．】
有理数体Ｑ にα＝＋を添加した体Ｋ＝Ｑ（α）を考える。
（１）Ｋ＝Ｑであることを示せ。
（２）拡大次数［Ｋ：Ｑ］を求めよ。
（３）ＫのＱ上のベクトル空間としての基底をひとつ答えよ。
【解答】
（１）（証明）
Ｑ ＝「Ｑと，を含む最小の体」
＝「Ｑと，から四則演算で作られる数全体」
である。
（ⅰ）K ＝｛ａ＋ｂα，ｃ＋ｄα｜ａ，ｂ，ｃ，ｄ∈Ｑ｝
ａ＋ｂ＋ｂ，ｃ＋ｄ＋ｄ∈Ｑ
を任意の元とすると、
（ａ＋ｂα）＋（ｃ＋ｄα）＝（ａ＋ｃ）＋（ｂ＋ｄ）α
＝（ａ＋ｃ）＋（ｂ＋ｄ）＋（ｂ＋ｄ） ∈Ｑ
（ａ＋ｂα）－（ｃ＋ｄα）＝（ａ－ｃ）＋（ｂ－ｄ）α
＝（ａ－ｃ）＋（ｂ－ｄ）＋（ｂ－ｄ） ∈Ｑ
（ａ＋ｂα）（ｃ＋ｄα）＝（ａｃ＋ｂｄα２）＋（ｂｃ＋ｄａ）α
＝（ａｃ＋５ｂｄ）＋（ｂｃ＋ｄａ）＋（ｂｃ＋ｄａ）＋２ｂｄ
∈Ｑ
Ｑ は和、差、積について閉じている。
（ⅱ）１＝１＋０＋０ ∈Ｑ
したがって、Kの単位元１はＱ に属する。
（ⅲ）（ａ，ｂ，ｃ∈Ｑ）をKの０...
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