資料紹介

2024年度　明星大学・通信教育課程・PF2022 代数学3の合格レポートです。成績優をいただきました。【解答は、理系卒業者による自身で作成後、添削済の正答です】

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ＰＦ２０２２

代数学３

２単位目　レポート課題
【課題１．】

有理数体Ｑ にα＝＋を添加した体Ｋ＝Ｑ（α）を考える。

（１）Ｋ＝Ｑであることを示せ。

（２）拡大次数［Ｋ：Ｑ］を求めよ。

（３）ＫのＱ上のベクトル空間としての基底をひとつ答えよ。
【解答】

（１）（証明）

Ｑ ＝「Ｑと，を含む最小の体」

　　　　　　　＝「Ｑと，から四則演算で作られる数全体」

である。

　　　　　　　

（ⅰ）K ＝｛ａ＋ｂα，ｃ＋ｄα｜ａ，ｂ，ｃ，ｄ∈Ｑ｝

ａ＋ｂ＋ｂ，ｃ＋ｄ＋ｄ∈Ｑ

を任意の元とすると、

（ａ＋ｂα）＋（ｃ＋ｄα）＝（ａ＋ｃ）＋（ｂ＋ｄ）α

＝（ａ＋ｃ）＋（ｂ＋ｄ）＋（ｂ＋ｄ） ∈Ｑ
（ａ＋ｂα）－（ｃ＋ｄα）＝（ａ－ｃ）＋（ｂ－ｄ）α

＝（ａ－ｃ）＋（ｂ－ｄ）＋（ｂ－ｄ） ∈Ｑ
（ａ＋ｂα）（ｃ＋ｄα）＝（ａｃ＋ｂｄα２）＋（ｂｃ＋ｄａ）α

＝（ａｃ＋５ｂｄ）＋（ｂｃ＋ｄａ）＋（ｂｃ＋ｄａ）＋２ｂｄ

∈Ｑ

Ｑ は和、差、積について閉じている。
（ⅱ）１＝１＋０＋０ ∈Ｑ

したがって、Kの単位元１はＱ　に属する。
（ⅲ）（ａ，ｂ，ｃ∈Ｑ）をKの０...

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